サーバの移行について、方法はいくつかありますが大きく2つに分かれます。
そのポイントは移行するデータ容量が多いか、少ないかです。
一通り流れを説明した後で最後に、データ容量が多い方のために注意点と解決方法を書いておきます。
つまづいている方はお気軽に質問してください。私もたくさんつまづきました（笑）
独自ドメインで運用しているWordpressのサーバ移行をする場合、問題になってくるのが移行するデータの容量です。特に、サーバを移行しようと思うくらいですから、アクセス数が増えてきて今使っているレンタルサーバが遅いとか、不安定だとか、ディスク容量が足らないなどの不満が出ているのでしょう。ということは、頻繁にブログを更新していて記事が増えているということです。＝データ容量（データベース容量）が多いということです。
方法はいくつかありますが、確実で簡単だと思う方法を紹介します。
データ容量が少ない方は、結構簡単です。
イメージを掴んでいただくため流れを簡単に書くと
古いサーバから、Wordpressのディレクトリをダウンロード
古いサーバから、MySQLのデータベースをダウンロード
新しいサーバの環境を整える
新しいサーバに、Wordpressのディレクトリをアップロード
新しいサーバに、MySQLのデータベースをアップロード
当たり前のことですが、そっくり移行するだけなので概念としては簡単です。
ただし、新旧のサーバの環境やデータ容量によって追加で作業が必要であったり、ちょっとしたツールを使わなければならないため、慣れていないとその辺りでつまづきます。
では、ちゃんと解説していきます。
FTPソフトで古いサーバに接続し、Wordpressのインストールされているディレクトリ（フォルダ）を丸ごと自分のパソコンにダウンロードします。
古いサーバのコントロールパネルなどからphp My Adminにログインをし、データベースを丸ごとエクスポート（ダウンロード）します。
新しいサーバにドメインの設定をします。
1.でタウンロードしたディレクトリ（フォルダ）の中（直下）にあるwp-config.phpを新しいサーバ環境に合うよう編集します。
FTPを使い、新しいサーバに1.のデータを丸ごとアップロードします。アップロードする場所は3.でドメインを設定する時に指定した場所です。
新しいサーバのコントロールパネルなどからphp My Adminにログインをし、2.でエクスポートしたデータベース（.sqlという名前のファイル）をインポート（アップロード）します。
自分のパソコンのhostsファイルに手を加え、新しいサーバにインストールされたWordpressにアクセスしてみる。
データ容量が少ない方は、すんなりと移行できますのでこれで完了です。
さて、データ容量が多い方は6.のデータベースのインポートでつまづいているはずです。